対称とは何か何十年も考えてやっと分かって来た気がしたのでメモ。
子供の頃から対称とは何かずっと考えてきた。色々な説明を読んでも、対称の例はズラズラ書いてあるけど、ずばりある物が対称かそうでないのかはっきり見分ける方法が良くわからなかった。所詮人間の言葉なので曖昧なのは仕方がないが、それにしても気持ちが悪い。なので、ある定義をまず考えて、もしそこからズレる対称があれば改めて考える事にした。
- ある値がある。
- ある変換がある。
- ある値に対して、ある変換を続けて行う。元の値に戻ったらその軌跡を変換を適用した対称形と呼ぶ。
- 元の値に戻らなかったら対称では無い。
ようするに、LOGO 的な定義だ。ある点から始めて、まっすぐ 100 歩進んで右に 120 度回るを繰り返すと正三角形が出来ますというやつだ「正三角形はまっすぐ進んで右に 120 度回るを適用した対称形である」。素直にアフィン変換を使うと普通っぽくなる「正三角形は中心点から120度回転を適用した対称形である」。図形じゃなくても x^2 + xy + y^2 のような記号にも適用出来る。ただこれだと、例えば渦巻きとかフラクタルな図形で元の点に戻らないやつは対称では無くなってしまうが、スタート地点としてはまあまあかなと思う。
